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El problema de la torta / Adrián Paenza





Le propongo pensar el siguiente problema: se tiene una torta y tres personas para comerla. Ninguno quiere comer menos que los otros. No hay forma de “medir” para saber con exactitud cómo generar tres porciones iguales, por lo que hay que elaborar una estrategia que permita que los tres queden satisfechos. ¿Cómo hacer?

Antes de avanzar: este problema, que parece totalmente irrelevante, puede adquirir impensada actualidad. Por ejemplo, si tres países se disputaran una porción de tierra, ¿cómo hacer para dividirlo de manera tal que no se genere un conflicto entre ellos?

O bien podría ser que hubiera que dividir una herencia entre tres personas y se trata de poder hacer una distribución que los deje contentos a los tres. Estoy seguro de que usted puede aportar más y mejores ejemplos. Pero lo que surge de estos casos es que lo que parece totalmente inocuo e irrelevante, en realidad, lo es dentro del contexto de tener que cortar una torta, pero puesto en otro escenario, en otras condiciones, tener una estrategia que satisfaga a todos los que intervienen ya no es algo tan trivial. Y aunque no lo parezca en la percepción que tiene hoy mucha gente, elaborar esa estrategia también es hacer matemática.
 
El problema de la torta es un clásico dentro de la matemática. Hay mucha literatura escrita y hay soluciones de diferente tipo. Yo voy a presentar acá sólo uno de ellas, que no es ni la mejor ni la única. Es sólo una de las tantas conocidas. Y, por supuesto, no es una idea mía, sino una respuesta que se conoce desde hace mucho tiempo.  Antes de dejarla/o sola/o con usted mismo, quiero proponerle –para empezar– que piense un problema un poco más sencillo. Es muy parecido al problema original, sólo que en lugar de suponer que hay tres personas para comer, suponga que en principio hay sólo dos. Es decir, se trata de dividir la torta en sólo dos porciones que dejen contentos a los comensales.

La idea es tratar de cortarla de manera que la división sea “justa” en el sentido de que ninguno de los dos tenga nada para decir. ¿Cómo hacer?

La solución a este problema es relativamente sencilla (¿quiere pensarla usted por su lado si no estaba advertido del problema?). Sigo yo: la idea es que uno de los dos se ocupe de cortarla en dos partes y el otro comensal decide con cuál de las dos porciones se queda. Esta parece una solución justa, equitativa: “uno corta, el otro elige”. Ahora, vuelvo al problema original: si en lugar de ser dos comensales, hay que distribuirla entre tres, sin que ninguno pueda reclamar nada, ¿cómo hacerlo? Acá lo dejo pensar a usted. Se trata entonces de ser capaz de elaborar una estrategia que deje contentos a todos. No es fácil. Pero tampoco imposible.

Solución

Voy a llamar A, B y C a los tres comensales.
 
Le pido un favor: lea con cuidado lo que sigue y no se conforme con entender lo que dice nada más. Piense si usted está de acuerdo con lo que está escrito, y si lo siente o percibe como una división justa.

Para empezar, uno de los tres corta la torta. Le damos esa responsabilidad a A.
 
Como A es el que la cortó, y se supone que lo hace con el mayor cuidado posible, tratando de ser justo en la división, uno podría dejarlo para el final cuando haya que elegir.
 
Es decir: una vez que hayan elegido sus porciones B y C, A se quedará con la última. Y eso no tendría que generarle ningún conflicto, porque A debió tomar todas las precauciones como para que, en el caso de que él fuera el último en elegir, todos los trozos que él hizo de acuerdo con su apreciación sean iguales.
 
Esto es importante de señalar, porque la discusión entonces pasará por saber qué hacen B y C con la torta. En este punto uno toma una decisión: ¡A será el último en elegir! Ahora, sólo falta decidir si B o C eligen primero.
 
La estrategia sigue así.
 
Lo dejamos a B que mire primero la torta. Si B supiera que él va a ser el primero en elegir, entonces no debería preocuparle si la división que hizo A de la torta fue justa o no. B elegiría primero y listo. Pero todavía no lo sabe. Entonces, como podría ser que B tuviera que elegir segundo, uno le propone que siga estos dos pasos:
 
1 )Si B ve que hay dos porciones igual de grandes, como para que si él tiene que elegir segundo no se tenga que quedar con una porción más chica, no debería importarle dejarlo elegir primero a C.
 
Entonces, en este caso, el orden de la elección es:
primero elige C
segundo elige B
último elige A

2) Podría pasar que B no estuviera cómodo eligiendo segundo, porque él piensa que C se va a quedar con la porción más grande. Es decir, B advierte que hay una porción más grande que las otras dos y, por lo tanto, si él tiene que elegir segundo supone que C se va a llevar la mejor parte. En este caso, uno le pide a B que marque las dos porciones que él considere más chicas y que le ceda la decisión de qué hacer a C.
 
Pero C –obviamente– no elige primero, sino que inspecciona la torta como hizo antes B. Si él se siente cómodo con elegir segundo (o sea, a C le parece que hay por lo menos dos porciones igualmente grandes y por lo tanto no le importaría que B elija antes), entonces, el orden es el siguiente:
B elige primero
C elige segundo
A elige último

Pero podría suceder que así como le pasó a B (que tuvo que marcar las dos porciones más chicas), a C le pase lo mismo. O sea, que él no quiera elegir segundo. ¿Por qué podría pasar esto? Porque C cree que hay una porción que es más grande que las otras, y si él elige segundo, B se la va a llevar. Entonces, igual que en el caso anterior, uno le pide a C que marque las que él cree que son las dos porciones más chicas.

Un breve resumen. Se llegó a esta situación porque tanto B como C no quisieron aceptar elegir segundos, y eso derivó en que marcaran lo que para cada uno de ellos eran las dos porciones más chicas.

Como cada uno marcó dos de las tres porciones, esto significa que debieron coincidir en al menos una de ellas como la más chica (piense usted por qué sucede esto). Y ahora ya falta muy poco. Justamente esa porción que los dos coinciden en ver como la más chica es la que separan y le dan a A.

Obviamente, A no puede decir nada, porque él fue el que cortó la torta originalmente. Ahora, quedan solamente dos porciones. Pero, también, solamente quedan dos comensales: B y C.

Entonces se juntan las dos porciones, como si formaran una nueva torta, y proceden como en el caso de dos comensales que planteé al principio. Por ejemplo B corta por lo que él considera que es la mitad, y C es el que elige primero. O al revés: C corta en dos, y B elige primero. Y esto pone punto final a la distribución. No importa cómo hayan sido los cortes originales de A, la estrategia pone a los tres en igualdad de condiciones. Y de eso se trataba, de evitar un conflicto y de ser justo en la repartición.

Este modelo de la matemática es obviamente utilizable en cualquier situación que requiera de una partición en tres partes iguales en la vida cotidiana. Pregunta final: si en lugar de haber dos o tres comensales hubiera más... ¿cómo se hace? ¿Hay una estrategia para esos casos también? La respuesta es que sí, que la hay, pero ya escapa al espacio que tengo para este artículo.

ADRIÁN PAENZA
Cómo cortar una torta en tres
Página/12 - 22MAR2009
 ARTE:
Leonardo Da Vinci
Hombre de Vitruvio / 1487
 

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